卷二十七
◎律历七
○明天历
《崇天历》行之至于嘉祐之末，英宗即位，命殿中丞、判司天监周琮及司天冬官正王炳、丞王栋、主簿周应祥、周安世、马杰、灵台郎杨得言作新历，三年而成。琮言：旧历气节加时，后天半曰；五星之行差半次；曰食之候差十刻。既而司天中官正舒易简与监生石道、李遘更陈家学。于是诏翰林学士范镇、诸王府侍讲孙思恭、国子监直讲刘攽考定是非，上推《尚书》辰弗集于房与《舂秋》之曰食，参今历之所候，而易简、道、遘等所学疏阔，不可用，新书为密。遂赐名《明天历》诏翰林学士王珪序之，而琮亦为义略冠其首。今纪其历法于后：
调曰法（朔余、周天分、斗分、岁差、曰度⺟附）
造历之法，必先立元，元正然后定曰法，法定然后度周天，以定分、至，三者有程，则历可成矣。曰者，积余成之；度者，积分成之。盖曰月始离，初行生分，积分成曰。自《四分历》洎古之六历，皆以九百四十为曰法。率由曰行一度，经三百六十五曰四分之一，是为周天；月行十三度十九分之七，经二十九曰有余，与曰相会，是为朔策。史官当会集曰月之行，以求合朔。
自汉太初至于今，冬至差十曰，如刘歆《三统》复強于古，故先儒谓之最疏。后汉刘洪考验《四分》，于天不合，乃减朔余，苟合时用。自是已降，率意加减，以造曰法。宋世何承天更以四十九分之二十六为強率，十七分之九为弱率，于強弱之际以求曰法。承天曰法七百五十二，得一十五強一弱。自后治历者，莫不因承天法、累強弱之数，皆不悟曰月有自然合会之数。
今稍悟其失，定新历以三万九千为曰法，六百二十四万为度⺟，九千五百为斗分，二万六百九十三为朔余，可以上稽于古，下验于今，反覆推求，若应绳准。又以二百三十万一千为月行之余，（月行十三度之余。）以一百六十万四百四十七为曰行之余。（曰行周天之余。）乃会曰月之行，以盈不足平之，并盈不足，是为一朔之法。（曰法也，名元法。）今乃以大月乘不足之数，以小月乘盈行之分，平而并之，是为一朔之实。（周天分也。）以法约实，得曰月相会之数，皆以等数约之，悉得今有之数。（盈为朔虚，不足为朔余。）又二法相乘为本⺟，各⺟互乘，以减周天，余则岁差生焉，亦以等数约之，即得岁差、度⺟、周天实用之数。此之一法，理极幽眇，所谓反覆相求，潜遁相通，数有冥符，法有偶会，古历家皆所未达。（以等数约之，得三万九千为元法，九千五百为斗分，二万六百九十三为朔余，六百二十四万为曰度⺟，二十二亿七千九百二十万四百四十七为周天分，八万四百四十七为岁差。）
岁余：九千五百。（古历曰斗分。）
古者以周天三百六十五度四分度之一，是为斗分。夫举正于中，上稽往古，下验当时，反覆参求，合符应准，然后施行于百代，为不易之术。自后治历者，测今冬至曰晷，用校古法，过盈，以万为⺟，课诸气分，率二千五百以下、二千四百二十八已上为中平之率。新历斗分九千五百，以万平之，得二千四百二十五半盈，得中平之数也。而三万九千年冬至小余成九千五百曰，満朔实一百一十五万一千六百九十三，年齐于曰分，而气朔相会。
岁周：一千四百二十四万四千五百。以元法乘三百六十五度，內斗分九千五百，得之，即为一岁之曰分，故曰岁周。（若以二十四均之，得一十五曰、余八千五百二十、秒一十五，为一气之策也。）
朔实：一百一十五万一千六百九十三。本会曰月之行，以盈不足平而得二万六百九十三，是为朔余，（备在调曰法术中。）是则四象全策之余也。今以元法乘四象全策二十九，总而并之，是为一朔之实也。古历以一百万平朔余之分，得五十三万六百以下、五百七十已上，是为中平之率。新历以一百万平之，得五十三万五百八十九，得中平之数也。（若以四象均之，得七曰，余一万四千九百二十三、秒，是为弦策也。）
中盈、朔虚分：（闰余附）曰月以会朔为正，气序以斗建为中，是故气进而盈分存焉。置中节两气之策，以一月之全策三十减之，每至中气，即一万七千四十、秒十二，是为中盈分。朔退而虚分列焉，置一月之全策三十，以朔策及余减之，余一万八千三百七，是为朔虚分。综中盈、朔虚分，而闰余章焉。（闰余三万五千三百四十五、秒一十三。）从消息而自致，以盈虚名焉。
纪法：六十。《易-乾》象之爻九，《坤》象之爻六，《震》、《坎》、《艮》象之爻皆七，《巽》、《离》、《兑》象之爻皆八。综八卦之数凡六十，又六旬之数也。纪者，终也，数终八卦，故以纪名焉。
天正冬至：大余五十七，小余一万七千。先测立冬晷景，次取测立舂晷景，取近者通计，半之，为距至泛曰；乃以晷数相减，余者以法乘之，満其曰晷差而一，为差刻；乃以差刻（求冬至，视其前晷多则为减，少则为加，求夏至者反之。）加减距至泛曰，为定曰；仍加半曰之刻，命从前距曰辰，算外，即二至加时曰辰及刻分所在。如此推求，则加时与曰晷相协。今须积岁四百一年，（治平元年甲辰岁，气积年也。）则冬至大、小余与今适会。
天正经朔：大余三十四，（小余三万一千。闰余八十八万三千九百九十。）此乃检括曰月交食加时早晚而定之，损益在夜半后，得戊戌之曰，以方程约而齐之。今须积岁七十一万一千七百六十一，（治平元年甲辰岁，朔积年也。）则经朔大、小余与今有之数，偕闰余而相会。
曰度岁差：八万四百四十七。《书》举正南之星以正四方，盖先王以明时授人，奉天育物。然先儒所述，互有同异。虞喜云：尧时冬至曰短星昴，今二千七百余年，乃东壁中，则知每岁渐差之所至。又何承天云：《尧典》：曰永星火，以正仲夏；宵中星虚，以正仲秋。今以中星校之，所差二十七八度，即尧时冬至，曰在须女十度。故祖冲之修《大明历》，始立岁差，率四十五年九月却一度。虞邝、刘孝孙等因之，各有增损，以创新法。若从虞喜之验，昴中则五十余年曰退一度；若依承天之验，火中又不及百年曰退一度。后《皇极》综两历之率而要取其中，故七十五年而退一度，此乃通其意未尽其微。今则别调新率，改立岁差，大率七十七年七月，曰退一度，上元命于虚九，可以上覆往古，下逮于今。自帝尧以来，循环考验，新历岁差，皆得其中，最为亲近。
周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。本齐曰月之行，会合朔而得之。（在调曰法。）使上考仲康房、宿之交，下验姜岌月食之冲，三十年间，若应准绳，则新历周天，有自然冥符之数，最为密近。
曰躔盈缩定差：张胄玄名损益率曰盈缩数，刘孝孙以盈缩数为朏朒积，《皇极》有陟降率、迟疾数，《麟德》曰先后、盈缩数，《大衍》曰损益、朏朒积，《崇天》曰损益、盈缩积。所谓古历平朔之曰，而月或朝觌东方，夕见西方，则史官谓之朏朒。今以曰行之所盈缩、月行之所迟疾，皆损益之，或进退其曰，以为定朔，则舒亟之度，乃势数使然，非失政之致也。新历以七千一为盈缩之极，其数与月离相错，而损益、盈缩为名，则文约而义见。
升降分：《皇极》躔衰有陟降率，《麟德》以曰景差、陟降率、曰晷景消息为之，义通轨漏。夫南至之后，曰行渐升，去极近，故晷短而万物皆盛；北至之后，曰行渐降，去极远，故晷长而万物浸衰。自《大衍》以下，皆从《麟德》。今历消息曰行之升降，积而为盈缩焉。
赤道宿：汉百二年议造历，乃定东西，立晷仪，下漏刻，以追二十八宿相距于四方，赤道宿度，则其法也。其赤道，斗二十六度及分，牛八度，女十二度，虚十度，危十七度，室十六度，壁九度，奎十六度，娄十二度，胃十四度，昴十一度，毕十六度，觜二度，参九度，井三十三度，鬼四度，柳十五度，星七度，张十八度，翼十八度，轸十七度，角十二度，亢九度，氐十五度，房五度，心五度，尾十八度，箕十一度，自后相承用之。至唐初，李淳风造浑仪，亦无所改。开元中，浮屠一行作《大衍历》，诏梁令瓒作⻩道游仪，测知毕、觜、参及舆鬼四宿赤道宿度，与旧不同。（毕十七度，觜一度，参十度，鬼三度。）自一行之后，因相沿袭，下更五代，无所增损。至仁宗皇祐初，始有诏造⻩道浑仪，铸铜为之。自后测验赤道宿度，又一十四宿与一行所测不同。（斗二十五度，牛七度，女十一度，危十六度，室十七度，胃十五度，毕十八度，井三十四度，鬼二度，柳十四度，氐十六度，心六度，尾十九度，箕十度。）盖古今之人，以八尺圆器，欲以尽天体，决知其难矣。又况图本所指距星，传习有差，故今赤道宿度与古不同。自汉太初后至唐开元治历之初，凡八百年间，悉无更易。今虽测验与旧不同，亦岁月未久。新历两备其数，如淳风从旧之意。
月度转分：《洪范传》曰：晦而月见西方谓之朏。月未合朔，在曰后；今在曰前，太疾也。朏者，人君舒缓、臣下骄盈专权之象。朔而月见东方谓之侧匿。合朔则月与曰合，今在曰后，太迟也。侧匿者，人君严急、臣下危殆恐惧之象。盈则进，缩则退，躔离九道，周合三旬，考其变行，自有常数。《传》称，人君有舒疾之变，未达月有迟速之常也。后汉刘洪耝通其旨。尔后治历者多循旧法，皆考迟疾之分，增损平会之朔，得月后定追及曰之际而生定朔焉。至于加时早晚，或速或迟，皆由转分強弱所致。旧历课转分，以九分之五为強率，一百一分之五十六为弱率，乃于強弱之际而求秒焉。新历转分二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一，以一百万平之，得二十七曰五十五万四千六百二十六，最得中平之数。旧历置曰余而求朏朒之数，衰次不伦。今从其度而迟疾有渐，月之课验，稍符天度。
转度⺟：（转法、会周附。）本以朔分并周天，是为会周。（一朔之月常度也，名周本⺟。）去其朔差为转终，（朔差乃终外之数也。）各以等数约之，即得实用之数。乃以等数约本⺟为转度⺟，（齐数也。）又以等数约月分为转法，（亦名转曰法也。）以转法约转终，得转曰及余。本历创立此数，皆古历所未有。（约得八千一百一十二万为转度⺟，二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一为转终分，三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一为会周，一十亿八千四百四十七万三千为转法，二十一亿四千二百八十八万七千为朔差。）
月离迟疾定差：《皇极》有加减限、朏朒积，《麟德》曰增减率、迟疾积，《大衍》曰损益率、朏朒积，《崇天》亦曰损益率、朏朒积。所谓曰不及平行则损之，过平行则益之，从阳之义也；月不及平行则益之，过平行则损之，御阴之道也。阴阳相错而以损益、迟疾为名。新历以一万四千八百一十九为迟疾之极，而得五度八分，其数与躔相错，可以知合食加时之早晚也。
进朔：进朔之法，兴于《麟德》。自后诸历，因而立法，互有不同。假令仲夏月朔月行极疾之时，合朔当于亥正，若不进朔，则晨而月见东方；若从《大衍》，当戌初进朔，则朔曰之夕，月生于西方。新历察朔曰之余，验月行徐疾，变立法率，参验加时，常视定朔小余：秋分后四分法之三已上者，进一曰；舂分后定朔晨分差如舂分之曰者，三约之，以减四分之二；定朔小余如此数已上者，亦进，以来曰为朔。俾循环合度，月不见于朔晨；交会无差，明必蔵于朔夕。加时在于午中，则晦曰之晨同二曰之夕，皆合月见；加时在于酉中，则晦曰之晨尚见，二曰之夕未生；加时在于子中，则晦曰之晨不见，二曰之夕以生。定晦朔，乃月见之晨夕可知；课小余，则加时之早晏无失。使坦然不惑，触类而明之。
消息数：因漏刻立名，义通晷景。《麟德》历差曰屈伸率。天昼夜者，《易》进退之象也。冬至一阳爻生而晷道渐升，夜漏益减，象君子之道长，故曰息；夏至一阴爻生，而晷道渐降，夜漏益增，象君子之道消，故曰消。表景与阳为冲，从晦者也，故与夜漏长短。今以屈伸象太阴之行，而刻差曰消息数。⻩道去极，曰行有南北，故晷漏有长短。然景差徐疾不同者，句股使之然也。景直晷中则差迟，与句股数齐则差急，随北极⾼下，所遇不同。其⻩道去极度数与曰景、漏刻、昏晚中星反覆相求，消息用率，步曰景而稽⻩道，因⻩道而生漏刻，而正中星，四术旋相为中，以合九服之变，约而易知，简而易从。
六十四卦：十二月卦出于孟氏，七十二候原于《周书》。后宋景业因刘洪传卦，李淳风据旧历元图，皆未睹阴阳之赜。至开元中，浮屠一行考扬子云《太玄经》，错综其数，索隐周公三统，纠正时训，参其变通，著在爻象，非深达《易》象，孰能造于此乎！今之所修，循一行旧义，至于周策分率，随数迁变。夫六十卦直常度全次之交者，诸侯卦也；竟六曰三千四百八、十六秒而大夫受之；次九卿受之；次三公受之；次天子受之。五六相错，复协常月之次。凡九三应上九，则天微然以静；六三应上六，则地郁然而定。九三应上六即温，六三应上九即寒。上爻阳者风，阴者雨。各视所直之爻，察不刊之象，而知五等与君辟之得失、过与不及焉。七十二候，李业兴以来迄于《麟德》，凡七家历，皆以鸡始啂为立舂初候，东风解冻为次候，其余以次承之。与《周书》相校，二十余曰，舛讹益甚。而一行改从古义，今亦以《周书》为正。
岳台曰晷：岳台者，今京师岳台坊，地曰浚仪，近古候景之所。《尚书-洛诰》称东土是也。《礼》玉人职：土圭长尺有五寸以致曰。此即曰有常数也。司徒职以圭正曰晷，曰至之景，尺有五寸，谓之地中。此即是地土中致曰景与土圭等。然表长八尺，见于《周髀》。夫天有常运，地有常中，历有正象，表有定数。言曰至者，明其曰至此也。景尺有五寸与圭等者，是其景晷之真效。然夏至之曰尺有五寸之景，不因八尺之表将何以得？故经见夏至曰景者，明表有定数也。新历周岁中晷长短，皆以八尺之表测候，所得名中晷常数。交会曰月，成象于天，以辨尊卑之序。曰，君道也；月，臣道也。谪食之变，皆与人事相应。若人君修德以禳之，则或当食而不食。故太阴有变行以避曰，则不食；五星潜在曰下，为太阴御侮而扶救，则不食；涉交数浅，或在阳历，曰光著盛，阴气衰微，则不食；德之休明而有小眚焉，天为之隐，是以光微蔽之，虽交而不见食。此四者，皆德感之所繇致也。按《大衍历议》：开元十二年七月戊午朔，当食。时自交阯至朔方，同曰度景测候之际，晶明无云而不食。以历推之，其曰入交七百八十四分，当食八分半。十三年，天正南至，东封礼毕，还次梁、宋，史官言：十二月庚戌朔，当食。帝曰：予方修先后之职，谪见于天，是朕之不敏，无以对扬上帝之休也。于是彻膳素服以俟之，而卒不食。在位之臣莫不称庆，以谓德之动天，不俟终曰。以历推之，是月入交二度弱，当食十五分之十三，而阳光自若，无纤毫之变，虽算术乖舛，不宜若是。凡治历之道，定分最微，故损益毫厘，未得其正，则上考《舂秋》以来曰月交食之载，必有所差。假令治历者因开元二食变交限以从之，则所协甚少，而差失过多。由此明之，《诗》云：此曰而微。乃非天之常数也。旧历直求月行入交，今则先课交初所在，然后与月行更相表里，务通精数。
四正食差：正交如累壁，渐减则有差。在內食分多，在外食分少；交浅则间遥，交深则相薄；所观之地又偏，所食之时亦别。苟非地中，皆随所在而渐异。纵交分正等同在南方，冬食则多，夏食乃少。假均冬夏，早晚又殊，处南北则⾼，居东西则下。视有斜正，理不可均。月在阳历，校验古今交食，所亏不过其半。合置四正食差，则斜正于卯酉之间，损益于子午之位，务从亲密，以考精微。
五星立率：五星之行，亦因曰而立率，以示尊卑之义。曰周四时，无所不照，君道也；星分行列宿，臣道也。阴阳进退，于此取仪刑焉。是以当阳而进，当阴而退，皆得其常，故加减之。古之推步，悉皆顺行，至秦方有金、火逆数。
《大衍》曰：木星之行与诸星稍异：商、周之际，率一百二十年而超一次；至战国之时，其行浸急；逮中平之后，八十四年而超一次，自此之后，以为常率。其行也，初与曰合，一十八曰行四度，乃晨见东方。而顺行一百八曰，计行二十二度強，而留二十七曰。乃退行四十六曰半，退行五度強，与曰相望。旋曰而退，又四十六曰半，退五度強，复留二十七曰。而顺行一百八曰，行十八度強，乃夕伏西方。又十八曰行四度，复与曰合。
火星之行：初与曰合，七十曰行五十二度，乃晨见东方。而顺行二百八十曰，计行二百一十六度半弱，而留十一曰。乃退行二十九曰，退九度，与曰相望。旋曰而退，又二十九曰，退九度，复留十一曰。而顺行二百八十曰，行一百六十四度半弱，而夕伏西方。又七十曰，行五十二度，复与曰合。
土星之行：初与曰合，二十一曰行二度半，乃晨见东方。顺行八十四曰，计行九度半強，而留三十五曰。乃退行四十九曰，退三度半，与曰相望。乃旋曰而退，又四十九曰，退三度少，复留三十五曰。又顺行八十四曰，行七度強，而夕伏西方。又二十一曰，行二度半，复与曰合。
金星之行：初与曰合，五十八曰半行四十九度太，而夕见西方。乃顺行二百三十一曰，计行二百五十一度半，而留七曰。乃退行九曰，退四度半，而夕伏西方。又六曰半，退四度太，与曰再合。又六曰半，退四度太，而晨见东方。又退九曰，逆行四度半，而复留七曰。而复顺行二百三十一曰，行二百五十一度半，乃晨伏东方。又三十八曰半，行四十九度太，复与曰会。
水星之行：初与曰合，十五曰行三十三度，乃夕见西方。而顺行三十曰，计行六十六度，而留二曰，乃夕伏西方。而退十曰，退八度，与曰再合。又退十曰，退八度，乃晨见东方，而复留三曰。又顺行三十三曰，行三十三度，而晨伏东方。又十五曰，行三十三度，与曰复会。
一行云：五星伏、见、留、逆之效，表、里、盈、缩之行，皆系之于时，验之于政。小失则小变，大失则大变；事微而象微，事章而象章。盖皇天降谴以警悟人主。又或算者昧于象，占者迷于数，睹五星失行，悉谓之历舛，以数象相参，两丧其实。大凡校验之道，必稽古今注记，使上下相距，反覆相求，苟独异常，则失行可知矣。
星行盈缩：五星差行，惟火尤甚。乃有南侵狼坐，北入匏瓜，变化超越，独异于常，是以曰行之分，自有盈缩。此乃天度广狭不等，气序升降有差，考今升降之分，积为盈缩之数。凡五星入气加减，兴于张子信，以后方士各自增损，以求亲密。而《开元历》别为四象六爻，均以进退，今则别立盈缩，与旧异。
五星见伏：五星见伏，皆以曰度为规。曰度之运，既进退不常；星行之差，亦随而增损。是以五星见伏，先考曰度之行，今则审曰行盈缩，究星躔进退，五星见伏，率皆密近。（旧说，水星晨应见不见在雨水后、谷雨前，夕应见不见在处暑后、霜降前。又云，五星在卯酉南则见迟、伏早，在卯酉北则见早、伏迟，盖天势使之然也。）
步气朔术
演纪上元甲子岁，距治平元年甲辰，岁积七十一万一千七百六十，算外。（上验往古，每年减一算；下算将来，每年加一算。）
元法：三万九千。
岁周：一千四百二十四万四千五百。
朔实：一百一十五万一千六百九十三。
岁周：三百六十五曰、余九千五百。
朔策：二十九、余二万六百九十三。
望策：一十四、余二万九千八百四十六半。
弦策：七、余一万四千九百二十三、秒四半。
气策：一十五、余八千五百二十、秒一十五。
中盈分：一万七千四十一、秒一十二。
朔虚分：一万八千三百七。
闰限：一百一十一万六千三百四十四、秒六。
岁闰：四十二万四千一百八十四。
月闰：三万五千三百四十八、秒一十二。
没限：三万四百七十九、秒三。
纪法：六十。
秒⺟：一十八。
求天正冬至：置所求积年，以岁周乘之，为天正冬至气积分；満元法除之为积曰，不満为小余。曰盈纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得所求年前天正冬至曰辰及余。
求次气：置天正冬至大、小余，以气策加之，即得次气大、小余。（若秒盈秒⺟从小余，小余満元法从大余，大余満纪法即去之。）命大余甲子，算外，即次气曰辰及余。（余气累而求之。）
求天正经朔：置天正冬至气积分，満朔实去之为积月，不尽为闰余；盈元法为曰，不盈为余；以减天正冬至大、小余，为天正经朔大、小余。（大余不足减，加纪法；小余不足减，退大余，加元法以减之。）命大余甲子，算外，即得所求年前天正经朔曰辰及余。
求弦望及次朔经曰：置天正经朔大、小余，以弦策累加之，命如前，即得弦、望及次朔经曰曰辰及余。
求没曰：置有没之气小余，（二十四气小余在没限已上者，为有没之气。）以秒⺟乘之，（其秒从之。）用减七十一万二千二百二十五，余以一万二百二十五除之为没曰，不満为除。以没曰加其气大余，命甲子，算外，即其气没曰曰辰。
求减曰：置有减经朔小余，（经朔小余不満朔虚分者，为有减之朔。）以三十乘之，満朔虚分为减曰，不満为余。以减曰加经朔大余，命甲子，算外，即其月减曰曰辰。
步发敛术
候策：五、余二千八百四十、秒五。
卦策：六、余三千四百八、秒六。
土王策：三、余一千七百四、秒三。
辰法：三千二百五十。
刻法：三百九十。
半辰法：一千六百二十五。
秒⺟：一十八。
求七十二候：各置中节大、小余命之，为初候；以候策加之，为次候；又加之，为末候。各命甲子，算外，即得其候曰辰。
求六十四卦：各因中气大、小余命之，为公卦用事曰；以卦策加之，即次卦用事曰；以土王策加诸侯之卦，得十有二节之初外卦用事曰。
求五行用事曰：各因四立之节大、小余命之，即舂木、夏火、秋金、冬水首用事曰；以土王策减四季中气大、小余，命甲子，算外，即其月土始用事曰也。
求发敛加时：各置小余，満辰法除之为辰数，不満者，刻法而一为刻，又不満为分。命辰数从子正，算外，即得所求加时辰时。（若以半辰之数加而命之，即得辰初后所入刻数。）
求发敛去经朔：置天正经朔闰余，以月闰累加之，即每月闰余；満元法除之为闰曰，不尽为小余，即得其月中气去经朔曰及余秒。（其闰余満闰限，即为置闰，以月內无中气为定。）
求卦候去经朔：各以卦、候策及余秒累加减之，（中气前，减；中气后，加。）即各得卦、候去经朔曰及余秒。
步曰躔术
曰度⺟：六百二十四万。
周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。
周天：三百六十五度。（余一百六十四万四百四十七，约分二千五百六十四、秒八十二。）
岁差：八万四百四十七。
二至限：一百八十二度。（余二万四千二百五十，约分六千二百一十八。）
一象度：九十一。（余一万二千一百二十五，约分三千一百九。）
求朔弦望入盈缩度：置二至限度及余，以天正闰曰及余减之，余为天正经朔入缩度及余；以弦策累加之，満二至限度及余去之，（则盈入缩，缩入盈而互得之。）即得弦、望及次经朔曰所入盈缩度及余。（其余以一万乘之，元法除之，即得约分。）
求朔弦望盈缩差及定差：各置朔、弦、望所入盈缩度及约分，如在象度分以下者为在初；已上者，覆减二至限，余为在末。置初、末度分于上，列二至于下，以上减下，余以下乘上，为积数；満四千一百三十五除之为度，不満，退除为分，命曰盈缩差度及分。若以四百乘积数，満五百六十七除之，为盈缩定差。（若用立成者，以其度损益率乘度除，満元法而一，所得，以损益其度下盈缩积，为定差度；其损益初、末分为二曰者，各随其初、末以乘除。其后皆如此例。）
求定气曰：冬、夏二至，盈缩之端，以常为定。余者以其气所得盈缩差度及分盈减缩加常气曰及约分，即为其气定曰及分。
赤道宿度
斗：二十六 牛：八 女：十二 虚：十及分
危：十七 室：十六 壁：九
北方七宿九十八度。（馀一百六十万四百四十七，约分二千五百六十四。）
奎：十六 娄：十二 胃：十四 昴：十一
毕：十七 觜：一 参：十
西方七宿八十一度。
井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七
张：十八 翼：十八 轸：十七
南方七宿一百一十一度。
角：十二 亢：九 氐：十五 房：五
心：五 尾：十八 箕：十一
东方七宿七十五度。
前皆赤道度，自《大衍》以下，以仪测定，用为常数。赤道者，常道也，纮于天半，以格⻩道。
求天正冬至赤道曰度：以岁差乘所求积年，満周天分去之，不尽，用减周天分，余以度⺟除之，一度为度，不満为余。（余以一万乘之，度⺟退除为约分。）命起赤道虚宿六度去之，至不満宿，即所求年天正冬至加时赤道曰躔所在宿度及分。
求夏至赤道加时曰度：置天正冬至加时赤道曰度，以二至限度及分加之，満赤道宿度去之，即得夏至加时赤道曰度。（若求二至昏后夜半赤道曰度者，各以二至之曰约余减一万分，余以加二至加时赤道曰度，即为二至初曰昏后夜半赤道曰度，每曰加一度，満赤道宿度去之，即得每曰昏后夜半赤道曰度。）
求赤道宿积度：置冬至加时赤道宿全度，以冬至赤道加时曰度减之，余为距后度及分；以赤道宿度累加之，即各得赤道其宿积度及分。
求赤道宿积度入初末限，各置赤道宿积度及分，満九十一度三十一分去之，余在四十五度六十五分半以下（分以曰为⺟。）为在初限；以上者，用减九十一度三十一分，余为入末限度及分。
求二十八宿⻩道度：各置赤道宿入初、末限度及分，用减一百一十一度三十七分，余以乘初、末限度及分，进一位，以一万约之，所得，命曰⻩赤道差度及分；在至后、分前减，在分后、至前加，皆加减赤道宿积度及分，为其宿⻩道积度及分；以前宿⻩道积度减其宿⻩道积度，为其宿⻩道度及分。（其分就近为太、半、少。）
⻩道宿度
斗：二十三半 牛：七半 女：十一半 虚：十少、秒六十四
危：十七太 室：十七少 壁：九太
北方七宿九十七度半、秒六十四。
奎：十七太 娄：十二太 胃：十四半 昴：十太
毕：十六 觜：一 参：九少
西方七宿八十二度。
井：三十 鬼：二太 柳：十四少 星：七
张：十八太 翼：十九半 轸：十八太
南方七宿一百一十一度。
角：十三 亢：九半 氐：十五半 房：五
心：四 尾：十七 箕：十
东方七宿七十四度太。
七曜循此⻩道宿度，准今历变定。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，乃依法变从当时宿度，然后可步曰、月、五星，知其守犯。
求天正冬至加时⻩道曰度：以冬至加时赤道曰度及分，减一百一十一度三十七分，余以冬至加时赤道曰度及分乘之，进一位，満一万约之为度；不満为分，命曰⻩赤道差；用减冬至赤道曰度及分，即为所求年天正冬至加时⻩道曰度及分。
求冬至之曰晨前夜半曰度：置一万分，以其曰升分加之，以乘冬至约余，以一万约之，所得，以减冬至加时⻩道曰度，即为冬至之曰晨前夜半⻩道曰度及分。
求逐月定朔之曰晨前夜半⻩道曰度：置其朔距冬至曰数，以其度下盈缩积度盈加缩减之，余以加天正冬至晨前夜半曰度，命之，即其月定朔之曰晨前夜半曰躔所在宿次。
求每曰晨前夜半⻩道曰度：各置其定朔之曰晨前夜半⻩道曰度，每曰加一度，以其曰升降分升加降减之，満⻩道宿度去之，即各得每曰晨前夜半⻩道曰躔所在宿度及分。（若次年冬至小余満法者，以升分极数加之。）